Vibrazioni torsionali negli alberi (a gomiti e non)

Colgo il suggerimento lanciato in una discussione sull'alleggerimento del volano da beckervdo aprendo un topic su questa tematica complessa cercando di spiegare, per sommi capi, il succo della questione, naturalmente, chi trovasse inesattezze, lo comunichi nel corso della discussione, io non sono una voce autorevole in capitolo, ma solo un utente/studente che vuole mettere a disposizione di tutti ciò che ha imparato all'università...

Fatta questa digressione, parliamo di cose serie... :) cosa sono le vibrazioni torsionali? come si ricavano le frequenze critiche? cosa sono i modi di vibrare dell'albero? sono domande a cui provo a dare una risposta in questa discussione, ma andiamo per ordine.

Gli alberi rotanti, sono oggetti imperfetti, un albero, qualunque esso sia e di qualunque materiale lo facciate, non è un corpo infinitamente rigido, per cui è soggetto a inflessione e vibrazioni indotte dalle inerzie montate su di esso.
Se prendiamo l'esempio di un albero a gomiti, su di esso sono montate diverse inerzie, per esempio i manovellismi o il volano oppure la puleggia della cinghia dei servizi, tutte queste concorrono a caricare l'albero, facendolo vibrare durante il suo moto rotatorio, e generano sforzi su di esso anche di 1 ordine di grandezza maggiori rispetto ai soli sforzi ricavati supponendo l'albero indeformabile.
Per calcolare questi contributi si fa ricorso ad una versione semplificata del manovellismo di spinta, immaginandocelo come una sola inerzia, supponendo presente la sola forza dei gas, alla quale fa equilibrio un momento torcente fittizio che viene applicato dal (o dai tratti d'albero nel caso fossero 2) tratto d'albero adiacente al manovellismo analizzato, ipotizzando che la differenza tra i 2 momenti vada solamente ad incrementare l'energia cinetica del manovellismo (e quindi dell'inerzia da esso rappresentata), l'equazione che salta fuori, derivata nella variabile phi (angolo di rotazione della manovella) è la seguente:

Mgas + Malb = 0.5*(dJ(phi)/dphi)*phi'^2 + J(phi)*phi''

dove J(phi) è l'inerzia del manovellismo in funzione dell'angolo di manovella, phi' è la velocità angolare della manovella e phi'' la sua accelerazione angolare. Essendo che phi non esiste per un corpo non rigido (solo i corpi infinitamente rigidi ruotano ad una velocità angolare, quelli non infinitamente rigidi torcono), si suppone che:

phi = om*t + theta
phi' = om + theta'
phi'' = theta''

dove om è la velocità angolare corrispondente al numero di giri (quindi media sul periodo t) e theta è l'imperfezione di rotazione dell'albero (generalmente piccola).
Tutte queste cose sono da sostituire nell'equazione vista prima e, per farlo, si utilizza la serie di Taylor per approssimare i contributi inerziali che ne deriveranno, per semplicità ci si ferma al 2° ordine.
Una volta semplificato il semplificabile viene fuori questo:

Mgas + Malb - 0.5*dJ/d(phi)*om^2 = Jmed*theta''

semplificando moltissimo però. Successivamente ci si calcola le espressioni di dj/dphi e Jmed che verranno sostituite nell'equazione soprastante (di cui vi risparmio la dimostrazione in quanto lunga e complicata).
Il passo successivo è stabilire il valore di Mgas (variabilissimo a seconda del regime e del carico a cui siamo, per cui ci tocca analizzare caso per caso) tramite valori misurati dai diagrammi ad indicatore del nostro motore.
Adesso, i contributi inerziali e del gas devono essere approssimati inserie di Fourier, in modo da renderli periodici con periodo pari al ciclo del motore, ottenendo espressioni cosi fatte:

Mgas = A + sumk[Ak*cos((K/2)*om*t+alphak)]
dJ/dphi= om^2*sumk[Bk*cos(K*om*t+betak)]

dove A è il valore medio di Mgas, Ak e Bk sono costanti moltiplicative della serie di fourier e derivano dai dati del problema, K è il numero d'ordine dell'armonica considerata mentre alphak e betak sono le fasi. Per un generico K, sostituendo nell'espressione i dati, otteniamo la cosiddetta armonica, nella prima c'è K/2 perchè il Mgas avviene ogni 2 giri dell'albero, mentre il dJ/dphi ad ogni giro, per cui di solito si analizzano i numeri d'ordine pari.

E' rimasto scoperto un termine, ovvero Malb, esso è dato dall'interazione dei tratti d'albero con il disco inerziale fittizio rappresentato da ciò che è montato sull'albero, per cui si comporrà di una reazione elastica e di una viscosa dovuta a smorzamenti vari, di cui vi risparmio la trattazione.

Quindi, veniamo al problema, le incognite da determinare sono quindi theta e le sue derivate, determinabili risolvendo le relativamente complesse equazioni differenziali lineari che si ricavano sostituendo tutto quello che è stato ricavato in:

Mgas + Malb - 0.5*dJ/d(phi)*om^2 = Jmed*theta''

la quale deve essere risolta per un certo numero di numeri d'ordine e per un certo valore di Mgas sul periodo considerato, tenendo costante om naturalmente, per cui la cosa diventa un po' lunghina.

Che cos'è una pulsazione naturale?
Una pulsazione naturale o propria del sistema è una pulsazione ricavata risolvendo l'equazione differenziale corrispondente all'equazione sopra, tenendo in considerazione solamente i termini inerziali ed elastici, supponendo nulli i contributi viscosi, o smorzanti, ed i forzanti.

Che cos'è un modo proprio?
Un modo proprio di vibrare è una particolare condizione nella quale tutti i momenti eccitatori agenti sulle n inerzie (dati da: Mgas - 0.5*om^2*dJ/dphi, espressi in forma arminica) sono in fase tra loro, con valori dello stesso segno, in queste condizioni l'albero può star male, soprattutto se siamo a ridosso di una pulsazione propria dell'albero.
E' un comportamento tipico dei motori in linea, ed è pericoloso quando si ha un'armonica del momento eccitatore, con numero d'ordine multiplo intero del numero dei cilindri, vibra con frequenza propria, essendo che, in queste condizioni, si hanno i picchi maggiori di tensione. Se analizziamo lo sfasamento tra i momenti eccitatori di 2 manovelle per la k-esima armonica:

M1k(t) = Ck*cos(K*om0*t + gamma1)
Mnk(t) = Ck*cos(K*om0*t + gamman)

dove Ck è il valore medio del momento eccitatore supposto uguale tra le 2 manovelle, e om0 è la frequenza sul periodo 2pigreco, e i gamma sono le fasi. Sapendo che, lo sfasamento temporale tra 2 manovelle per un motore in linea è:

deltat = lambda/om (lambda è lo sfasamento angolare)

sostituendo in MnK(t) ottengo:

Mnk(t) = Ck*cos(K*om0*t + gamma1 - K*(om0/om)*lambda)

questo momento eccitatore, ha la medesima fase di M1k(t) se la sua fase è pari a gamma1, ovvero se:

gamman = gamma1 - K*(om0/om)*lambda

ma lambda è uguale a 4pigreco/N con N il numero dei cilindri, sostituendo di nuovo, si scopre che sono uguali se il termine con lambda è multiplo di 2pigreco, ovvero:

K*(om0/om)*4pigreco/N

essendo om0=om/2, si ottiene che K deve essere multiplo intero di N, cioè il numero d'ordine deve essere multiplo del numero dei cilindri per avere i momenti eccitatori delle manovelle in fase tra loro.

Questo intero procedimento si deve svolgere per ogni inerzia presente sull'albero motore, volano compreso, e per ogni regime di giri (i più problematici ovviamente) e serve per dimensionare i perni di banco e di biella, nonchè delle sezioni di passaggio tra essi. Nel caso in cui, il calcolo ci portasse ad avere un albero problematico, i metodi di risoluzione sono diversi:
_ cambiare ordine di accensione
_ cambiare le inerzie presenti modificando i pezzi
_ inserire smorzatori
gli smorzatori sono dei congegni che possono mettere una pezza, ma da utilizzarsi come ultima spiaggia, essendo composti da materiale polimerico o siliconico, ovvero soggetto a degrado nel tempo.
Questi smorzatori sono composti da una massa "sismica" annegata in olio siliconico o in gomma, e servono per smorzare 1 sola frequenza propria dell'albero, vi sono anche smorzatori "intelligenti" i quali possono smorzare anche un paio di frequenze proprie, ma non so dirvi quali siano nè da dove vengano.

Bene, ho cercato di essere il più rapido ed indolore possibile nella spiegazione di un argomento piuttosto complicato da capire, spero di essere stato utile a chiunque voglia cimentarsi in modifiche di questo genere su alberi, in modo che si renda conto delle storie malate che stanno dietro al loro dimensionamento. :wink:
Invito chiunque voglia aggiungere qualcosa di suo a farlo, purchè sia attinente al tema, e, naturalmente, se notate delle vaccate segnalatemelo!

 

non è un copia incolla, è un'esame che ho appena dato e le cose me le ricordo abbastanza bene, coi miei appunti ho messo in piedi la discussione... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> cmq grazie! /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20">

è una cosa da calcolare e verificare, il volano, di per se, non è trattabile come una manovella in quanto ha valori di smorzamento diversi da esse, comunque sia non si sa come cambi frequenza propria a priori, bisognerebbe calcolare, anche perchè sono diversi i fattori da tenere in conto oltre la semplice inerzia...il tuo è un ragionamento brutale è un po' troppo immediato, si dovrebbero fare verifiche più approfondite... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> di sicuro la frequenza propria cambia, però, se essa diminuisse (cosa di cui sono convinto se diminuiamo un'inerzia ma, ripeto, bisogna fare dei calcoli) potrebbero esserci guai per l'albero visto che i modi propri, costituiti dalle armoniche dei momenti eccitatori agenti sulle n inerzie in fase, potrebbero incrociare le pulsazioni naturali dell'albero a regimi di rotazione inferiori a quelli critici di progetto, ovvero l'albero sta male prima del dovuto... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

 

guarda, mi ha incuriosito sta cosa, è tutto il pomeriggio che ci penso, appena ho tempo (se mi ricordo soprattutto) butto giù 2 calcoli e li posto... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

 

si chiama meccanica del veicolo... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

@giacomo : ho dato una sbirciatina ad un vecchio esercizio e ho scoperto che nessuno di noi 2 ha ragione perchè non sappiamo verificare a priori se effettivamente le pulsazioni proprie aumentino o no...se uno di noi 2 ha ragione é solo culo... /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20"> rivedendo il procedimento fatto, per risolvere l'equazione generica di un sistema vibrante ad n gradi di libertà (ho n inerzie), mi è tornato in mente che bisogna sostiture alla variabile theta una funzione esponenziale contenente om (la pulsazione propria generica)...risolvendo il sistema si arriva ad un'equazione tipo:

theta*(K - J*om) = 0

dove theta è il vettore delle ampiezze, om è la velocità angolare incognita del mio problema, mentre J e K sono la matrice massa contenente le inerzie e la matrice rigidezza dei tratti d'albero. Quest'equazione è soddisfatta se e solo se il contenuto della parentesi è zero, escludendo la soluzione ovvia ovvero ampiezze nulla, cioè se la matrice differenza della parentesi è singolare, ovvero ha determnante nullo. Essendo però che la pulsazione propria generica va a moltiplicare la matrice massa, i suoi elementi saranno moltiplicati per omega, andando a fare il determinante di essa sottratta da K, si ottiene un polinomio di grado n in omega, la cui soluzione non si sa come sia influenzata dall'inerzia Ji che noi abbiamo modificato, essendo che il determinante della matrice, fa si che l'elemento Ji*om possa mescolarsi con altri, magari diventando Ji*Jk*om^2, quindi va ad influenzare molte più pulsazioni proprie di quante ce ne possiamo immaginare... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

ok ragazzi, io per ora chiudo e vado a dormire, il mistero verrà svelato nelle puntate seguenti, nei prossimi giorni caccio fuori un esempio con sistema a 3 gradi di libertà, tanto matlab risolve tutto.! /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20"> cosi vediamo cosa succede effettivamente.!

 

rieccomi, ho fatto 2 calcolini con un sistema a 3gdl, composto di 3 inerzie, 2 "manovelle" ed un volano, i dati in ingresso erano nel primo caso:

J1=J2=4 --> inerzia delle manovelle supposte uguali se analizziamo un policilindrico

J3=10

K1=K2=20 --> smorzamenti dei 2 tratti d'albero tra le inerzie supposti uguali

i risultati ottenuti sono 3 pulsazioni proprie:

om1=0

om1=1.68rad/s -->complessa

om2=3.98rad/s -->reale

nel secondo caso tutto era uguale al di fuori di J3 che è stata posta uguale a 5 (dimezzata), i risultati sono stati:

om1=0

om2=2.06rad/s -->complessa

om3=3.91rad/s -->reale

quindi, escludendo il caso banale di om=0, quindi la prima velocità propria è aumentata e la seconda è diminuita, naturalmente, avendo fatto i calcoli a mano, c'è il beneficio del dubbio da parte vostra, essendo che non sono una macchina. /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20">

Rammento che i calcoli sono stati fatti per un sistema a 3 gradi di libertà, perchè non ho nessunissima intenzione di calcolarmi il determinante di una matrice di rango 5 o 6 o n, a seconda di quanti cilindri o inerzie volete (per un 6 in linea sono almeno 8), quindi, qualitativamente è stato dimostrato che, in ogni caso, non è possibile prevedere a priori senza calcoli come vanno le cose, per un sistema ad 1gdl, ovvero 1 sola inerzia, la cosa può essere fattibile, ma dai 2gdl in su bisogna mettersi a tavolino con dati alla mano, anche se simbolici come i miei... /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20"> spero di aver fatto chiarezza anche su questo aspetto del problema... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

PS: il "complessa" è indicativo del fatto che è una radice dell'equazione appartenente all'insieme dei numeri complessi, per cui essa è più complicata da esprimere essendo dotata di fase, tuttavia, essendo che le radici sono 6 complesse coniugate, non 3, si possono combinare linearmente le 2 coppie di soluzioni non nulle per dare origine a 2 sole soluzioni reali con parte immaginaria nulla (posso farlo perchè il mio problema è lineare), per esempio sommarle e dividerle per 2, nel caso delle reali, questa cosa è banale essendo che la loro parte immaginaria è 0, nel caso delle complesse bisogna fare qualche passaggino in più, per quello ho messo semplicemente la parte reale a seguito di questi passaggi... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

EDIT: [MENTION=249]giacomo[/MENTION]: sul fatto che la pulsazione propria è inversamente proporzionale all'inerzia hai ragione, ho trovato un vecchio esercizio, però è applicabile solo a casi di sistemi vibranti a 2 o meno gradi di libertà, essendo che le soluzioni verrebbero:

om1=0

om2=[K*((1/J1) + (1/J2))]^0.5

più si alza il grado, meno le variazioni di inerzia diventano prevedibili... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">

 

dipende dalla materia, in certe sono completamente inaffidabile... /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20">

è bella und interessante, però, fatta con il prof che avevo io, è stata un'odissea di studio... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> se vuoi lui è un genio, però per prepararla bene ci ho dovuto dedicare un semestre, comunque studio Ingegneria del veicolo a Modena, sono già laureato alla triennale e mi mancano 4 esami per uscire dal tunnel... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> uno di questi si occupa di ricostruire un intero manovellismo di spinta di un motore (modificarlo, alleggerirlo ecc ecc), e ho pensato di fare o quello del 335i o quello dell'M3 E92... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> per cui tra qualche mese posso dirvi com'è finita e cos'è saltato fuori! /emoticons/biggrin@2x.png 2x" width="20" height="20">

 

se fanno l'ultimo anno di specialistica a veicolo magari li conosco pure... :) /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20">